1.2 격자상수와 밀러지수(Miller Index)

 

 

안녕하세요, 노력주의 입니다. 오늘은 전공 관련 포스팅으로 찾아뵙습니다.

 

오늘 포스팅할 내용은 격자상수, 그리고 밀러 지수(Miller Index or Miller Indices)에 관해서 다루도록 하겠습니다.

 

 

1. 격자상수(Lattice constant)

 

설명에 앞서 기호정리를 하고 넘어가겠습니다. 과학자들은 격자상수를 표현하기를 Å 로 약속했습니다. 즉 대문자 A에 자그만 동그라미를 덧붙인 기호이지요. 다만 이 글에서는 포스팅의 편의를 위해 그냥 대문자 A로 하겠습니다.

 

그렇다면 과연 격자상수란 무엇인가. 앞서 결정 구조에 대해서 배웠을 것입니다. 가장 간단한 단위인 Simple Cubic, 즉 정방입자에 대해서 고려해봅시다. 정육면체의 구조와 그 꼭지점 8군데에 원자들이 각각 배열되어 있는 형태죠. 이 경우 가로, 세로, 높이는 모두 길이가 같습니다. 정육면체니까 당연하죠. 여기서 격자상수가 5A라고 한다면, 이 결정 구조의 변의 길이를 a라고 했을 때 a = 5A = 5 X 10^(-10)m 가 됩니다.

 

 

그렇다면 만약 세 변의 길이가 각각 다른 경우는 어떨까요? 간단합니다. 세 가지 다른 격자상수를 가지게 되는 것입니다. 뭐 간단하죠. 격자상수니 뭐니 하는 용어를 따로 만들어 쓰고는 있지만 결국은 가로, 세로, 높이를 표현하는 것임에 지나지 않는 것입니다. 거창하게 용어까지 만들어 놓은 것 치고는 별 거 없죠.

 

이쯤에서 한 가지 추가로 알아볼 게 있습니다. 예를들어 Body centered Cubic, 즉 체심정방입자가 있다고 칩니다. 이 결정 구조는 단위 셀 안에 총 몇 개의 원자가 포함되어 있을까요?

 

이는 사실 고등학교 과정 때도 한 번 해본 경험들이 있을겁니다. 체심정방입자는, Simple cubic 형태에서 정중앙에 하나의 온전한 원자가 하나 추가되어 있는 형태이죠. 즉 꼭지점에 있는 원자 8개, 가운데에 원자 1개인데, 꼭지점에 있는 원자들의 경우 단위 셀 안에 온전히 한 개의 원자가 들어있는게 아니라 잘리고 잘려서 1/8 만큼의 원자가 있는 것이죠. 따라서 (1/8 x 8) = 1이고, 거기다가 가운데에 온전히 들어있는 원자 1개까지 해서 총 2개의 원자가 있는 것을 알 수 있습니다.

 

이를 구하는 것이 왜 필요하냐면, Volume density를 구하기 위함입니다. 단위 부피당 원자의 개수를 의미하는 것인데요. 아까의 상황에서 이어가보죠. 아까 격자 상수는 a = 5A 였습니다. 다시, a = 5*10^(-10)m 입니다. 이 결정 구조의 부피는 a*a*a = 1.25*10^(-28) m^3 이죠. 부피 구하는 것은 쉬우니까, 금방 따라오시리라 믿습니다. 여기서 Volume density는, 단위 부피당 원자의 개수입니다. 즉 방금 구한 부피에 2개의 원자가 들어있다는 것이죠. 따라서 

 

 

가 되는 것이죠.

 

 

2. 밀러 지수(Miller Index or Miller Indices)

 

밀러 지수란, 좀 장황하게 쓰면 면에 의해 교차되는 좌표축 의 길이를 그 축의 단위길이로 나눈 값의 역수의 최소 정수비 입니다. 말이 좀 어렵죠. 그러니 말 보다는 그림과 함께 설명하도록 하겠습니다.

 

 

제일 왼쪽의 경우, 오로지 x축 하나만 만납니다. 중간의 경우 x, y 축과 만납니다. 오른쪽의 경우 x, y, z 축과 만납니다. 편의를 위해 정육면체 입자의 경우, 변의 길이가 모두 같으므로 길이의 비가 1 : 1 : 1 이므로 위와 같이 각각 (100), (110), (111)로 표현할 수 있습니다.

 

자 그럼, 만약에 정방입자가 아니라면 어떻게 될까요? 예를 들어 오른쪽의 그림에서 각각 x=3, y=2, z=1과 만난다면?

 

그런 경우는 좀 다릅니다. 앞서 말했듯, 먼저 역수를 취합니다. 그럼 (1/3, 1/2, 1/1) 이 되죠. 여기서 최소 정수비를 곱하면 (2,3,6)이 되죠. 즉 이 경우는 밀러지수가 (236) 이 되는 것입니다. 대충 해보니 계산과정 자체는 그리 어렵지 않죠?

 

자 그럼 또 다른 상황을 가정해보죠. 아 왜 자꾸 상황을 가정하는거야? 하실수도 있겠습니다만 부디 믿고 따라와주세요 ><

위 그림에서 왼쪽의 경우를 생각해보면, x축에서만 만날 경우 (100), y축에서만 만날 경우 (010), z축에서만 만날 경우 (001)이 됨은 쉽게 알 수 있습니다. 그러다가 어느 순간 표기의 통일성이 강조되었습니다. 사실 기준이라는게, 누구나 편한대로 설정할 수 있는 것 아니겠습니까? 누군가는 z축이라고 잡은 것을 누군가는 x축이라고 잡을 수도 있으니 말입니다. 즉 (100)이나 (010)이나 (001)이나 별 차이 없고 다 같은 것이라는 말입니다. 그러므로 이를 하나의 기호로서 {100} 라고 표기하기로 합니다. 보시다시피 이 경우는 중괄호를 사용했죠. 즉 {100} = (100) or (010) or (001) 인 것이죠.

 

마지막으로 이 밀러지수는, 그 평면의 법선벡터가 됩니다. 예를 들어 아까 구한 (236)의 밀러 지수를 가지는 평면의 경우 법선벡터 (n = 2x + 3y + 6z) 를 가지는 것입니다.

 

이 밀러지수만 해도 당장에 반도체 개발에 활용되고 있습니다. 대표적으로 반도체 8대 공정 중 식각 공정에서 사용되는데요.

 

 

 

위 그림은 그 활용의 예입니다.

 

네 이렇게 해서 오늘의 포스팅을 마치도록 하겠습니다. 다음 포스팅에서는 면밀도를 구하는 법, Epitaxial Growth, 그리고 Lattice mismatch 구하는 방법을 다루도록 하겠습니다. 읽어주셔서 감사의 말씀 드립니다.